Equation de Turing
La petite histoire
Comprendre simplement
Domaines de présence
Son interprétation dans l'avenir
Les références
Mais encore …
by Pepe ©
 
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La petite histoire  Up Page
Les taches des animaux
Ces motifs sont dus à la présence d'une molécule colorée, la mélanine, produite par les mélanocytes, des cellules de la peau. Un mécanisme chimique encore mal connu, mais dont on sait qu'il intervient lors des premiers stades de la vie embryonnaire.
Le fait qu'une cellule produise ou non de la mélanine dépend de l'activation de ses mélanocytes, qui sont des organites répartis uniformément dans le derme. On pense que cette activation est due à la présence aux premiers stades de la morphogenèse de médiateurs chimiques (que l'on ne sait encore identifier) qui diffusent dans les tissus.
 
Pour comprendre, il faut se tourner vers le léopard et le tigre: ils possèdent des corps similaires, mais affichent des dessins différents. Les biologistes ont cependant observé que les taches apparaissaient plus tard sur les embryons de léopard que les rayures sur ceux de tigre. Pour les mathématiciens, cette chronologie est cruciale: en simulant les motifs naturels à l'aide des équations de Turing, ils ont établi que si les motifs apparaissaient quand l'embryon est très petit, l'animal est rayé; mais tacheté si l'embryon est plus développé.
 
Les équations montrent même qu'entre deux espèces de zèbres plus les taches apparaissent tard sur l'embryon, plus elles sont serrées.
Qui ne s'est jamais étonné devant la variété des motifs extraordinaires que peuvent arborer certains animaux ou certaines plantes: les taches du léopard, les rayures de zèbres, les polygones des girafes, et encore des spirales, des angles, des fractales... Les travaux de Alan Turing ont depuis le milieu du siècle donné quelques pistes d'explication qui depuis ont largement été suivies et permettent aujourd'hui de comprendre de nombreux cas.

 
En ajustant les coefficients des équations de Turing et en faisant varier les compositions initiales des composés chimiques, des chercheurs taïwanais ont réussi à faire apparaître de nombreuses décorations caractéristiques: les cinq points noirs de la coccinelle taïwanaise Platynaspidius quinquepunctatus, les sept points de la Coccinella septempunctata, les rayures de la Macroilleis hauseri, ou les anneaux de la Bothrocalvia albolineata.

Comprendre simplement  Up Page
Travaux de James D. Murray
En testant les équations de Turing sur des cylindres, James D. Murray, biomathéticien à l'université de Washington, a montré qu'ils se parent de taches lorsque leur rayon est assez important… et de rayure dès que leur forme est plus étroite.
L'embryon du zèbre, assimilable à un long cylindre , est ainsi rayé, tandis que celui du léopard, plus trapu, donne des taches. Et les léopards, peuvent même avoir une queue rayé en raison de la forme cylindrique plus étroite de cet appendice. Le fait que les solutions des équations de Turing possèdent une période spatiale propre explique ce phénomène : on observe des rayures sur la queue quand le périmètre de celle-ci devient inférieur à la période spatiale des solutions des équations.

Domaines de présence  Up Page
Théorie de la morphogénèse chimique
Tout phénomène physico-chimique impliquant diffusion (ou transport) et réactions chimiques peut être décrit par un modèle de réaction-diffusion. Lorsqu'ils sont maintenus loin d'un équilibre thermodynamique, certains systèmes couplant réaction et diffusion de fluides ont la capacité de produire des variations spatiales de concentrations sous la forme de motifs qui présentent un haut niveau d'organisation. Comparés aux textures rencontrées dans la nature, ces motifs montrent un degré de réalisme rarement atteint avec d'autres catégories de modèles.
En 1952, dans les fondements d'une théorie de la morphogénèse chimique, Alan Turing a ainsi émis l'hypothèse qu'un mécanisme de réaction-diffusion est réellement à l'origine des structures présentes dans certains tissus biologiques - une chimie du vivant en quelque sorte. Si une telle hypothèse n'a jamais pu être démontrée, elle reste d'actualité alors que, dans ce domaine, les simulations informatiques conservent une large avance sur les expérimentations en laboratoire. En construisant un modèle mathématique simple à base d'équations aux dérivées partielles, Turing est parvenu à reproduire les structures qu'il observait.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page
Structure de Turing
On appelle structure de Turing un profil de concentration stationnaire dans un milieu physico-chimique provenant d'un couplage entre des phénomènes de réaction et de diffusion de plusieurs espèces chimiques. On a longtemps assimilé à tort certaines structures stationnaires à des structures de Turing alors qu'elles étaient en réalité l'effet conjugué de la convection et de gradients de densité. Ces structures apparaissent lorsque les conditions du milieu réunissent un certain nombre de conditions, notamment pour un système binaire lorsqu'une des espèces diffuse beaucoup plus vite que l'autre. On parle d'instabilité car les structures n'apparaissent que lorsqu'un paramètre dépasse une valeur critique. Insistons sur le caractère paradoxal de ce phénomène: c'est la diffusion, phénomène qui tend d'habitude à homogénéiser les constituants, qui va ici jouer un rôle essentiel dans l'apparition de gradients de concentration.

Les motifs apparaissent à partir de petites inhomogénéités de concentrations, aussi faibles soient-elles, et qui font de l'état homogène un état instable. L' instabilité de Turing correspond donc à une brisure spontanée de symétrie ; c'est pourquoi on la compare souvent à une transition de phase. Elle ne respecte en particulier pas la symétrie des conditions aux bords. Les motifs sont caractérisés par une longueur d'onde intrinsèque qui ne dépend pas des conditions géométriques du problème mais simplement des conditions initiales de concentration, des coefficients de diffusion respectifs et des constantes de réaction. Les considérations géométriques ne deviennent pertinentes que lorsque la taille du système devient de l'ordre de cette longueur d'onde caractéristique. Toutes ces caractéristiques permettent de distinguer l'instabilité de Turing d'autres structures stationnaires hors équilibre comme les cellules de l'instabilité de Rayleigh-Bénard ou les vortex de l'instabilité de Rayleigh-Taylor.


Les références  Up Page
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Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les "trois pôles d'intérêts", en psychologie)_ c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.
 
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Mais encore …  Up Page
Applications en morphogenèse
 
Il est probable que la génération des dents pourrait être gérée par la diffusion-réaction de morphogènes le long de la mâchoire, soit un problème de Turing à une dimension. Lorsque la mâchoire de l'embryon grandit, la période spatiale des structures de Turing restant constante, de nouveaux pics apparaissent entre les précedents. Chez les alligators, si l'on numérote les dents en partant du devant de la mâchoire, on observe que les dents poussent dans l'ordre bien précis 1,3,5,7,9... puis 2,4,6,8,10... soit une première série, puis une seconde entre les précédentes. Ceci s'accorderait avec l'hypothèse de Turing.
De nombreux articles tentent d'établir le lien entre équations de réaction-diffusion et morphogenèse. Que cela concerne les ailes de poulet, de drosophiles, le thorax des insectes, les rayures des poissons ou la formation osseuse, les champs de recherche sont vastes !